Resuelto el enigma de la isla de los fidelios
En la entrada anterior planteaba el caso de la isla de los fidelios. Para entender las razones de lo allàocurrido conviene plantearse un caso más sencillo, que es siempre buen consejo para resolver problemas difÃÂciles.
Pongamos que solo hubiera un hombre infiel. TendrÃÂamos 49 mujeres que sabrÃÂan que el marido de la número 50 le era infiel, mientras que la mujer número 50 sabrÃÂa que los 49 hombres que nos son su marido son fieles a sus esposas. Si en esta situación llega el misionero y anuncia que hay al menos un hombre infiel, esta mujer número 50 deberá concluir que su marido es el infiel. Lo matarÃÂa esa noche y al dÃÂa siguiente aparecerÃÂa en el periódico de la isla.
Pongamos ahora que hubiera dos hombres infieles. 48 mujeres sabrÃÂan de dos hombres infieles y dos mujeres sabrÃÂan de un hombre infiel. Cada una de estas dos mujeres pensará que si su marido es fiel, la otra no estarÃÂa viendo ningún hombre infiel, asàque, según el caso anterior, deberá matarlo tras el sermón del misionero. Como no lo hace y no aparece la noticia al dÃÂa siguiente sólo puede ser porque está esperando a ver qué hace la otra y eso es porque ve un hombre infiel, asàque estas dos mujeres matan a sus maridos la segunda noche.
Podemos seguir con tres, cuatro, ... cincuenta hombres infieles y el resultado es siempre asÃÂ: si hay X hombres infieles morirán la noche número X.
¿Por qué hay que esperar a que el misionero diga nada, si ya se sabÃÂa que habÃÂa hombres fieles?
Esto es un poco más sutil de entender. En el caso de un hombre infiel está claro que no todas las mujeres sabÃÂan que "hay al menos un hombre infiel" y entonces está claro que añade una información importante.
¿Qué pasa si hay dos hombres infieles? Es cierto que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel", pero ocurre que hay dos mujeres que no saben que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel". Son las parejas de los dos hombres infieles, sean las números 49 y 50. La 49 no sabe que la 50 sabe que "hay al menos un hombre infiel" y eso sigue asàhasta que llega el misionero con su sermón. Sólo en ese momento puede empezar el razonamiento si no lo mata el primer dÃÂa.
Cuando hay 50 hombres infieles todas saben que todas saben que todas saben (asàhasta 49 veces) que "hay al menos un hombre infiel", pero no saben que todas saben que todas saben (asàhasta 50 veces) que "hay al menos un hombre infiel".
El saber que todos saben que todos saben (asàtodas las veces que uno quiera) una proposición K es lo que se llama "conocimiento común" de la proposición K. El ejemplo de la isla de los fidelios debe dejar clara la necesidad de que ciertas cosas sean de conocimiento común para poder tomar decisiones.
Aquàhay otro ejemplo interesante.
